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用化归思想推动学生解题思维

来源:本站     作者:许丽娟    

 

摘要:数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质,是培养学生学习能力的桥梁。辩证唯物主义认为,任何事物内部都存在着矛盾,一切矛盾的东西总是相互联系着的,不但在一定条件下共处于统一体中,而且在一定条件下可以相互转化,从而推动事物的发展,数学题中的条件与条件、条件与结论之间也存在着矛盾,解体过程就是有目的地不断转化矛盾,最终解决矛盾,从这个意义上说解题就是转化即化归。化归思想是初中数学中常用的一种重要的数学思想,解题时几乎遍及每一道数学题,它能使问题化繁为简,化难为易,提高学生综合解题能力。

关键词:化归特点 化归模式 化归原则

正文:

笛卡儿说过:“数学是使人变聪明的一门科学”,数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质,是培养学生学习能力的桥梁。全日制义务教育数学课程标准中明确指出:数学教育要面向全体学生,实现:人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学、不同的人在数学上得到不同的发展;能初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识;形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。知识是躯体,问题是心脏,思想是灵魂,方法是行为”是对如何学好数学的高度概括。

化归思想,是解决数学问题的一种重要思想,它贯穿于整个数学之中,对升入初中的学生来说,能熟练、灵活运用这一方法,可减轻不少负担,更会因此而爱上数学。它曾被笛卡儿誉为“万能大法”。他在《指导思维的法则》一书中指出:第一,将任何种类的问题转化为数学问题;其次,将任何种类的数学问题转化为代数问题;第三,将任何代数问题转化为方程式的求解。而所谓“化归”字面理解为转化归结,在数学方法论中一般指人们将待解决的问题通过转化过程,归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题之解答的一种手段和方法。

即:

在此过程中,化归后的问题应更容易解决,就如波利亚在《怎样解题》一书中提及的:面对一道新看到的题目要问问自己以前见过它吗?或者见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?如果不能解所提的题目,先尝试去解某道有关的题目。能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?能解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分,而丢掉其他部分,那么未知量能怎样变化?能从已知数据中得出一些有用的东西吗?能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗?能改变未知量或已知数据,或者有必要的话,把两者都改变,从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗?用到所有的已知数据了吗?用到全部的条件了吗?把题目中所有关键的概念都考虑到了吗?

在运用化归思想的时候,要注意考虑以下原则:

一、熟悉化原则:如果能将待解决的陌生问题化归为一个比较熟悉的问题,就可以充分调动已知的知识和经验用于面临的新问题,从而有利于问题的解决。

如在《多边形内角和》的教学中,我们可以通过回顾三角形的内角和与外角和,猜想多边形的内角和与外角和。

三角形的内角和为180,如图1,可以通过作平行线,平移∠1,∠2,∠3到三角形的一个顶点处,得到一个周角,说明∠1+∠2+∠3=180

当边数增加时(如图2),多边形的内角个数、外角个数随之增加,多边形的内角和与外角和会随之发生变化吗?(学生通过小组讨论,转化就能随之得出解决的方法)

如此一来,学生马上就理解了。

二、简单原则:若能将一个复杂的问题化归为比较简单的问题,则问题会更容易得到解决,通过分类、讨论、割补、特殊化、换元等具体方法亦可使问题变得更简单。

如在初一学了乘方之后,会涉及到初二的一些幂的乘积,如

这对于初一的学生来说一直是一个难点,在讲解的时候就是只能把它们从定义上考虑(共992),(共1001/2),相乘的的时候。可以约去992,所以最终的结果是1/2;再浅显一点就是高次方的乘法只能是倒数之间的乘法,先确定符号,约去较低的那个数,剩下次方较高的数,而它的指数就是两只指数的差。尽量用浅显易懂的话语让学生们掌握。

三、和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

例如,在“整式同类项”的教学中,笔者从银行换来了一大堆的零钱,将全班每六人分成一个小组,比比谁最先把钱数出来。在巡视的过程中,发现每一组都分工很快,专人负责一种钱币的数数;在汇报的时候,得出的总钱数都是张数乘以面值加上张数乘以面值。虽然这一过程只有短短的五六分钟,但由此过渡到新课同类项的合并就非常容易理解,学生都能自然而然的在合并时只对同类项的系数进行加减,而不去改变字母和次数了。

四、直观化原则:就是将比较抽象的问题转化为较为直观的问题来解决。

例如,在《从部分看全体》一课中有一个问题“你知道池塘中有多少鱼吗?”这是一个很实际的问题,池塘是无法搬到课堂来的,如何让学生能很清晰的解决这一问题呢?教师就利用实物投影仪、鞋盒、黑白围棋子与学生模拟了池塘、鱼,由学生来捕鱼,在捕鱼活动中很清晰明了得解决了这一问题。

又如教学正负数加减法运算是教材的重点和难点,学生对:1)同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加,(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,较大的绝对值减去较小的绝对值。不容易真正理解和掌握,原因是绝对值的概念及名词对学生来说是陌生的。

    在教学中把正数、负数的绝对值转化为正数来考虑,正负数相加时先确定符号,然后再化归为两个正数之间的运算。

    (1)同号两数相加,符号不变(即取原来加数的符号),看作两个正数相加(即并把绝对值相加)。

    (2)异号两数相加,符号从大(即指绝对值较大的加数的符号),看作两个正数大减小(即较大的绝对值减去减小的绝对值)。

    在这里绝对值是化归的对象,正数是实施化归的途径,两个正数相加以及大的正数减去小的正数是化归的目标。

    由于学生对两个正数相加及正数中大数减小数是已掌握的知识,然后返回去熟悉理解绝对值的概念,这样有利于学生对正负数加减运算的真正掌握。

五、极端化原则:运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的性质。

例如:如图,在正方形ABCD中,动点EF分别从DC两点同时出发,以相同的速度在边DCCB上移动,连接AEDF交于点P,由于点EF的移动,使得点P也随之运动,若AD=2,线段CP的最小值是             .

学生所能接触到线段最小有三类:1是两点之间线段最短;2是点到线垂线段最短;3是利用三角形三边关系解决。本题中点C确定,但是P点不确定,故学生无法思维解决。这时候用极端化原则就有了解决的一丝曙光。我们考虑动点EF在起始位置时的点PD处,动点EF在终止位置时的点P在正方形对角线交点处,这样图形呈现三个点P,可以推测出点P的运动轨迹是一个四分之一圆,继而利用圆外点到圆的最短距离就变成学生们所熟悉的题型了,学生就能解决了。

今后再遇到此类问题,学生们的解题思路也就有了。

总之,化归思想是人的一种主观要求,在化归过程中应注意:

1、有目的,有意识地进行化归,应始终“盯住”目标。化大为小,化繁为简; 2、对于寻找正确的化归途径,应该努力实践,不断探索;

3、努力寻找最佳化归途径。最终对化归这一数学思想方法的掌握,一方面,是对基础知识的掌握,如果对基础知识掌握不牢,甚至生疏那又何谈化归,往何处化呢;另一方面,就是在课堂教学中对化归思想的渗透。根据初中学生的知识水平与接受能力,循序渐进地量力而行。

参考文献:

1.    肖柏容,周焕山.《数学史与数学方法论》.江苏教育学院,19953

2.    波利亚著《怎样解题》(阎育苏译)。北京:科学出版社,1982年。

3.    刘华《追求逻辑连贯的数学教学》。中学数学(下)20153

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